Python · chapitre 20 — Réussir le bac

Activité

Simuler la décroissance radioactive

Consigne

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Le chapitre 19 simulait une équation différentielle par la méthode d’Euler : un algorithme déterministe. La radioactivité appelle l’angle opposé — simuler le hasard lui-même, et regarder la loi émerger. C’est l’expérience des dés du §6.1, en plus grand.

Le principe suit la définition de $\lambda$ : pendant le pas très court de $1\ \text{s}$ , et parce que $\lambda$ est petit, chaque noyau encore présent se désintègre avec une probabilité approximativement égale à $\lambda$ . La fonction random() du module random renvoie un nombre au hasard entre 0 et 1 : l’événement « random() <= proba » se produit donc avec la probabilité proba — c’est notre noyau qui se désintègre.

Le script Ch20_simulation.py (dossier scripts/) parcourt, seconde après seconde, les noyaux restants — listes et boucles, sans aucune bibliothèque de calcul. Il s’exécute tel quel, à une ligne près (# À COMPLÉTER).

(La suite — tracé de la simulation et superposition de la loi $N_0\,e^{-\lambda t}$ — est fournie et n’est pas à modifier.) Le résultat est la courbe déjà rencontrée au §6.4 : le nuage stochastique épouse la loi de décroissance.

Questions :

Compléter la valeur de proba à partir de la définition de $\lambda$ et de l’approximation expliquée ci-dessus.
Exécuter deux fois le script : les courbes obtenues sont-elles identiques ? Recommencer avec N0 = 20 : que change-t-on, et que retrouve-t-on du §6.1 ?
Relever sur la courbe la date à laquelle il reste 1 000 noyaux (la moitié), et comparer à $t_{1/2} = \ln 2/\lambda$ .

O5 - Python (listes, boucles, append) : tout y est rappelé.

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Script élève

# -*- coding: utf-8 -*-
"""Chapitre 20 — Simulation stochastique de la décroissance radioactive.

À chaque pas de 1 s, chaque noyau restant se désintègre avec une
probabilité approximativement égale à lam, car lam est très petit.
Le script superpose la simulation à la loi N = N0 exp(-lam * t).
"""
import math
import random

import matplotlib.pyplot as plt


lam = 0.01   # constante radioactive (s^-1)
N0 = 2000    # noyaux présents à t = 0

proba = 0.005  # À COMPLÉTER : probabilité de désintégration pendant 1 s

ts = [0]     # dates (pas de 1 s)
Ns = [N0]    # nombres de noyaux restants
while Ns[len(Ns) - 1] > N0 / 100:
    n_desintegrations = 0
    for i in range(Ns[len(Ns) - 1]):
        if random.random() <= proba:
            n_desintegrations = n_desintegrations + 1
    Ns.append(Ns[len(Ns) - 1] - n_desintegrations)
    ts.append(ts[len(ts) - 1] + 1)

# ---- Tracé fourni, à ne pas modifier ---------------------------------
N_exact = []
for t in ts:
    N_exact.append(N0 * math.exp(-lam * t))

plt.plot(ts, Ns, ".", markersize=3, label="simulation (hasard)")
plt.plot(ts, N_exact, "-", label="loi du cours : $N_0\\,e^{-\\lambda t}$")
plt.xlabel("t (s)")
plt.ylabel("N (noyaux restants)")
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.title("Décroissance radioactive : le hasard redonne la loi")
plt.show()

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